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【思享一席】对话数学家丘成桐先生:不能与自然界的真和美越来越脱节

人民日报中央厨房   

2017-10-13 11:02

思享者

数学,被高斯称为是“科学的女皇”,而伦琴则强调:第一是数学,第二是数学,第三是数学。点、线、面是数学,肥皂泡破灭的波形状态也是数学,圆锥曲线曾被认为是无用的数学,但用它来描述天体运行轨道则显得“无比有用”。有学者说,数学使得自然科学实现定理化,给予自然科学某种程度的可靠性。是的,数学是可靠的,数学是美的,数学的意义不言而喻。今天我们约请到清华大学丘成桐数学科学研究中心主任、美国国家科学院院士、中国科学院外籍院士、菲尔兹奖获得者丘成桐教授,聊一聊数学教育与数学史,让我们离数学更近一点,再近一点。

人物小传

邱成桐 :当代最伟大、最具影响的数学大师之一,杰出教育家,哈佛大学数学系讲座教授。生于汕头,祖籍蕉岭县文福镇。22岁即获得加州大学伯克利分校博士学位。他曾获得菲尔兹奖、沃尔夫奖、克莱福特奖、美国国家科学奖等国际顶级大奖,是中、美、俄、意等多国科学院院士。他是几何分析学科奠基人,解决了代数几何中的卡拉比猜想、广义相对论中的正质量猜想等众多影响深远的世界难题。他在中美多所大学培养了一大批顶尖数学人才,先后筹资创建香港中文大学数学研究所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心,发起举办世界华人数学家大会,为中国科教事业作出了巨大贡献,荣获2003年度中国国际科技合作奖。

思享者:为什么要进行数学史的研究?

丘成桐:数学史研究的目的可归纳为三个:一是求因。美国哲学家马文(Walter Mavin )在1917年出版的著作《欧洲哲学史》中写道:“任何时代的哲学都是文明进程的产物,或是时代变迁的缩影。”数学思想的发生不是凭空而来,因此需要穷源溯委,阐明发生此种思想的原因。二是明变。尽管数学思想变化至繁,但仍有一定轨迹可寻,所以需要我们去找寻其发展的轨迹。三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价,评价这些思想对当时以及今后所产生的影响及价值,能够帮助学者发展自己的想法。

思享者:中国数学史发展的脉络是怎样的?

丘成桐:谈及中国数学史,从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书,然而真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》、《周髀算经》和《孙子算经》,尤以《九章算术》为最重要,内容涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积等。《孙子算经》是记载“物不知数”的算经,率先给出中国剩余定理,这可以说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用都由中国学者首先提出,其重要性影响至今。

刘徽以3为圆周率,至祖冲之则算圆周率至3.141592,这确是一个重要的工作,其方法与阿基米德相同。之后,唐朝有王孝通著《缉古算经》,谈到二次方程和三次方程,然而未提解法。

南宋和元朝期间则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理,秦九韶发现霍纳算法。总括来说,这一段时间数学以代数为主,尚有天元术和四元术的发展。

明清的数学与西方相差太远,无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里德的几何原本前六章。而中国学者虽然仰慕几何原本的推理方法,却无力吸取其精髓。到十九世纪初叶,李善兰才将几何原本全部译出。

清朝数学家则花了不少时间去整理中国数学古籍,既与当时形势有关,也可以隐约的看出学者心存“夷夏之分”,抗拒西方的思想。

事实上,数学和数学家一直到近代才得到比较多的尊重。

思享者:考察中国数学史后,您觉得中国数学研究发展有何特点?

丘成桐:纵观中国数学发展,基本上尊崇儒家“学以致用”的想法,对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大,反而从庄子、墨子等著作中,可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。   

公孙龙曾言:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”但是这种观念在实际运算上没有表现出来,到刘徽和祖冲之才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学,读者没有办法知道这些例子有多广泛,更不知道他们的证明。模棱两可的态度可说是中国古代数学研究的弊病。

还有一个有趣的事实,中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理,大概原因是反证法虽然可以指出定理的真实性,却无法得出实际的应用,而在欧几里德证明存在无穷多个素数时,西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国对逻辑的运用相对不如西方,对纯粹科学真理的兴趣也相对不如西方。

在某种意义上讲,中国古代数学的主要活动始终停留在实验科学的层次上,对证明定理的兴趣不大。我们传统文化以家庭、宗族等为出发点,所以大概没有考虑过一切复杂的数学现象,可以用几条简单显而易见的公理来推导,这与希腊数学家的态度有显著的不同。

思享者:那么,不同在何处呢?

丘成桐:举例来看。在明朝初年,欧洲处于文艺复兴时期,在科学界一个极为重要的问题就是求解三次和四次方程式。这看来是小事,却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程:x²+ 1 = 0. 很明显,只要x是实数,方程左手边一定大于零,所以方程无解!对中国古代数学家来说,似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质,就假定上面这个二次方程有一个非实数的解,称之为虚数,同时要求这个虚数和普通实数混合在一起,同样做加减乘除,得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现:虽然有的多项式没有实数解,但是所有多项式都有复数解,同时解的个数刚好是多项式的次数。

从方程的角度来说,这个复数域是完美的,也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实的解,不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时,复数域不但会增强我们理解实数的能力,它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数,傅里叶用它来解释波动现象。在数论中,高斯、黎曼和之后的学者广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。

我认为,中国学者对数学发展的历史研究,对支持数学的基本哲学问题的研究还可以加强,因为有些学者容易萧规曹随,解决一些问题就罢了。很多学者发展了一套长篇的理论,看似漂亮,却是越来越玄虚,结果无以为继!这是和自然界的真和美愈来愈脱节的缘故。

思享者:是和我们常说的简单即为美是一个道理吗?

丘成桐:对的。以简御繁,才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。你看中国画家画山水画,是用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。数学也是一样,在很少几个公理的前提下,推导出来的结果,能表达这些公理的内蕴意义。

毕达哥拉斯学派以为天地万物都可以用数字来表示,他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前三百年,欧几里德的公理就清楚的指出一切平面几何定理可以由少数公理推出。欧氏公理影响了整个科学的发展,在物理科学上引导了牛顿的三大定律和现代的统一场论。在数学上它使我们知道我们发现的定理并非互不关联的事实,他们都可以由几条简易公理来推导。

思享者:有人说,数学是用数字来解释世界,那么数学研究对现实世界发展到底有什么作用?

丘成桐:数学从自然界,从各种学问吸收着真和美的真髓。数学在现代社会的影响力可谓无远而弗届,上至天文、物理、生物,下至网络、社会人文都和数学有关。

今日中国实现创新性发展,必以数学为基础。可以预见的是:二十一世纪综合国力的竞争,必和科技创新发展息息相关。科技兴则民族兴,科技强则国家强,谁能掌握科技上流,谁就占据优势地位。

中庸说:“唯天下至诚,为能尽其性;能尽其性,则能尽人之性;能尽人之性,则能尽物之性;能尽物之性,则可以赞天地之化育;可以赞天地之化育,则可以与天地参矣。”真诚是做学问之道的不二法门,愿我们能以谦虚真诚的态度来追随数学先贤们开创的道路。(人民日报中央厨房·思享者工作室 张垚)

责编:杨知然

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